Методика решения большинства геометрических задач

 

(удобная, и не обязательная)

 

          Самое главное:

Решение всех задач, как правило, сводится к построению какой-либо системы алгебраических уравнений и ее решению.

         

1.          Сначала строим чертеж.

2.          Добываем все нужные данные. Это самый важный процесс.

3.          Затем составляем уравнение, или систему уравнений.

4.          Решаем его, и из ответов выбираем те, которые подходят.

5.          Сдаем, получаем пятерку. Все.

 

Пример:

 

Доказать теорему из учебника об угле вписанном в окружность и опирающемся на хорду.

 

 

           Второе самое главное: Все задачи составляются для того, чтобы их решали, а не для того, чтобы поставить тебя в тупик и лишить законной пятерки. Каждую школьную задачу можно решить. То, что решить нельзя математики всегда оставляют для себя и ковыряют сидя в своих университетах. Они получают от этого громадное удовольствие. Иногда на такие задачи у них уходит неделя, иногда год, а бывает, что и 200 лет.

           Однако чтобы дойти до профессионального уровня надо сначала освоить любительский, то есть школьный.

            У шахматистов есть такие понятия как «задачка на мат в 2 хода», «мат в 4 хода». Но никто не собирается давать ученикам задачки на «мат в 1 ход». Это не интересно. Поэтому, когда ты видишь задачу, не стоит рассчитывать на то, что она решится без твоего труда, сама собой. Некоторые ученики, только увидев чертеж условия («мама дорогая!»), спешат объявить все абсолютно нерешабельным, а себя –  не способными к этому делу (на латыни «не способный» – «impotentus»).

 

           Третье самое главное: Мозги – это такой же орган человеческого тела, как и мускулы. И то и другое можно качать. Сколько усилий приложишь, такими мозгами и похвастаешься. Все от тебя зависит.

 

Научные факты:

           Качанию мозгов косвенно очень помогает регулярное слушание классической музыки, а так же, как это ни странно, игры на компьютере, в которых надо хоть немного думать.

           Препятствуют – постоянное балдение от тяжелого рока и ему подобных стилей, игры на приставках Sega (тупые больно) и беспредметная низкоинтеллектуальная болтовня по Интернету.

 

Почему так?

           Потому, что в математике очень важно искать скрытые связи между разными объектами. Чертежи воспринимают участки правого полушария мозга, формулы – участки левого, связи устанавливает средний мозг и гипофиз. Классическая музыка устроена так, что в ней все постоянно меняется. Ритм, и громкость, темп, и интонации. Мозг автоматически это все отслеживает. И поэтому получается так, что возбуждаются по очереди почти все отделы мозга. А связи между ними тренируются постоянно!

           Попса и эстрадная музыка действует совсем не так. Один и тот же ритм, один и тот же темп, бесконечные повторения, почти всегда одинаковый уровень громкости (большой), часто агрессивное настроение. Что получаем? Работают постоянно только 3-4 участка мозга, а другие нет. Легче войти в какое-то одно состояние и ловить там кайф. Агрессия в первую очередь возбуждает участки мозга, отвечающие за инстинкты выживания, а те дают импульсы нужным мышцам. Под такую музыку, конечно, самое лучшее – заниматься спортом, бить товарищей и смотреть детективы. Под классику все это делать как-то несподручно. Она не возбуждает, а успокаивает.

 

Правила для легкой жизни

 

1.  Лучше всего всегда делать крупный аккуратный чертеж, чтобы на нем можно было увидеть все детали и неизвестные. Хорошо бы заранее думать о возникающих подробностях на чертеже. Их ведь надо будет куда то впихивать.

 

 

По какому чертежу будет легче доказывать? На какой легче внести дополнительные детали? Где легче перепутать какой угол альфа,  какие углы прямые? Кто из твоих знакомых так рисует? Ну и как у него (или нее) с оценками по геометрии?

 

2.  На рисунок стоит наносить все данные, которые есть в условии, или которые появляются в ходе решения. Когда ты нанес все данные легче увидеть что-нибудь следующее.

 

 

3.  Чтобы обеспечить себе безоблачное будущее надо выучить наизусть десяточек-другой формул. Математика –  это футбол мыслей, а формулы – разные виды ударов по мячу. Если не знать какой-то удар, то когда-нибудь обязательно придется туго.

4.  Часто бывает так, что в условии задач числа даются скрыто, текстом, или в общеизвестных теоремах. Чаще всего встречаются два особенных треугольника, которые иногда называют «первым и вторым замечательными треугольниками». Их надо постараться запомнить и научиться видеть, потому, что они есть буквально повсюду.

 

 

       Первый представляет собой половинку равностороннего треугольника, второй – половинку квадрата. (Длины их сторон мы узнали из теоремы дедушки Πιϕαγορα).

 

 

      Если одна из сторон известна, то другие стороны можно искать и без теоремы Πιϕαγορα. На рисунке показано, как это делать в первом замечательном ∆-ке. Возможно, имеет смысл запомнить один из этих примеров, чтобы потом им пользоваться.

       Для второго замечательного ∆-ка коэффициенты переходов ты можешь составить и сам. Рекомендую. Пригодится.

 

 

Пиши данные удобным способом. Лучше всего (для себя) отмечать части отрезков и углов, а не целые. Вершины буквами обозначать неудобнее всего. Вместо “4 см.” достаточно написать “4”, вместо “АВ²=ВС²+АС²” удобнее “а²=в²+с²”. Совсем хорошо вместо громоздкого “<AOB=180^o - <AOC - <СОВ” писать “f=180-g-k” даже без всяких градусов. Их можно вставить потом.

5.  Во всех задачах на окружность имеет смысл посоединять все интересные точки с ее центром. Помогает в 90% случаев.

 

          Пример:

 

 

      Еще пример:

 

 

Вообще для всех типов фигур существуют такие «палочки-выручалочки-в-90%-случаев». Например, для трапеции это какой-либо перпендикуляр:

 

        Пример:

 

 

            Другой пример: 

 

 

 

 

Если задача ну никак не идет, попробуй такие приемы:

 

·        Поверни чертеж на какой-нибудь угол, так, чтобы все обозначения трудно было бы прочитать сходу, и заново проговори про себя все что знаешь про задачу.

·        Если совсем не знаешь как решать, и ни одна мысль не лезет в голову, то можно поступить по «методу сыщика». То есть терпеливо собирать все все данные о подозреваемом субъекте и наносить их на бумагу. Что-нибудь интересное обязательно да и всплывет.

·        Часто помогает отложить задачку на 10-15 минут, если ты на уроке, или на час, если ты дома, и порешать другие полегче. Наше мышление работает по волновому принципу активность–пассивность. Если наступил период пассивности, то от напряжения мозгу станет только хуже. Подожди часок и дело пойдет.

·        В крайнем случае, попытайся вспомнить, какую тему вы сейчас проходите. Если sin-усы cos-инусы, то их точно надо напихать в чертеж да побольше, если вписанные окружности, или хорды, а у тебя до сих пор ни одной нет, то что надо сделать?

 

6.  Большинство досадных ошибок возникает на пустом месте. Буквально на пустом месте. То есть когда ты делаешь 2-3-4 действия в уме и ничего про них не пишешь, только результат. В эти моменты нередко возникают всякие иллюзии, и выдавания желаемого за действительное.

Отсюда вывод: Пиши все до мелких подробностей.

 

7.  И последнее. В каждой задаче надо устраивать проверку. Даже если ты на 100% уверен в правильности решения.

                Почему?

           Потому, что при решении и при проверке мозг работает по разному, внимание фиксируется по разному.

 

Пример:

 

          Представь, что ты – браконьер и хочешь срубить на свои нужды несколько деревьев. Причем там, где рубить нельзя. Идешь ты по лесу и выбираешь. Вот дерево корявое, а то вытаскивать будет тяжело, не возьму, а это вроде самое то, что надо.       

                             Это один тип внимания.

          Представь теперь, что ты – лесник. Идешь и смотришь. Ага, тут щепки, ветки валяются, а там ствол волочили, да не совсем ровный. И думаешь «Во дурак! Рядом такая классная сосна стоит. А он ту кривую завалил.»          

                             Это совсем другой тип внимания.

 

          Между прочим, расписывание решения в подробностях очень помогает проверке. Потому, что при проверке ты особо тщательно проверяешь только то, что написано, а про устные вычисления думаешь «А! Там по формуле, значит все правильно!» Когда же учитель на твоих глазах принимается проверять твою работу, то сбоку от него часто раздается тихое бормотание: «Ну, я не то имел в виду…», или «Ч-черт побери!».

 

           В любом случае твоя работа будет тщательно проверена. Либо тобой, и тогда «5», либо учителем, и тогда «2».

 

          С проблемами такого рода сталкиваются все программисты в мире. Написать программу, оказывается, далеко не самое сложное дело. Гораздо труднее выловить в ней все ошибки и неточности. Если программа – это большая игрушка, или операционная система, то отлов ошибок занимает несколько месяцев.

         Самое забавное, что как только программист напишет какую-то программу и отладит ее, у него обязательно возникает обманчивое ощущение «у меня все правильно», или «вроде все правильно». Естественно никто из них себе не верит. И правильно делает!

 

         Кстати, чем ход решения геометрической задачки отличается от последовательности операторов компьютерной программы? Не возникало ли и у тебя когда-нибудь «синдрома программиста»?

 

         Некоторые программные ошибки отлавливаются очень очень тщательным, кропотливым рассмотрением. Нет так давно у американцев грохнулся орбитальный спутник за пару миллиардов баксов, и только потому, что программист, в одном месте вместо точки поставил запятую.

         Техника не прощает неточностей.

Все остальные спутники преспокойненько летают себе вокруг Земли. Значит, жить без ошибок можно!